Александр Мовсесян родился в Степанакерте (Арцах) в 1956 году. В восьмилетнем возрасте начал обучаться игре на кеманче в ДМШ № 1 им. Комитаса в классе Темура Саакяна. В подростковом возрасте начал участвовать в концертах сольно и с ансамблем народных инструментов ДК Степанакерта. В качестве солиста работал в районном доме культуры «Цицернак» в качестве солиста.
Окончил музыкальное училище Степанакерта по классу кеманчи, после чего гастролировал с ансамблем песни и танца Нагорного Карабаха, был солистом и концертмейстером Государственного эстрадного оркестра «Карабах», аккомпанировал народной артистке Наируи Алавердян.
В 1984 году окончил Ереванскую консерваторию, учился в классе профессора Норайра Давтяна. Одновременно с учебой работал Государственной филармонии с Государственным оркестром народных инструментов Армении, государственным ансамблем гусанской и народной песни Армении, был стажером ансамбля радио-телевидения Армении.
После выпуска перебрался в Елец, где стал директором парка и дома культуры железнодорожников.
С 1989 по 1993 год учился в аспирантуре Ереванской государственной консерватории по специальности «Музыковедение». По своей конструкции сделал несколько экземпляров кеманчи, которые получили положительные отзывы на международных инструментоведческих конференциях и от ведущих музыкальных мастеров республики Армении и России.
Все это время активно выступал на разных сценах СССР, России и сопредельных стран, становился лауреатом музыкальных конкурсов и фестивалей (Второго международного фестиваля фольклора, организованного под эгидой ООН и ЮНЕСКО в 1990 году; Пятого Всероссийского фестиваля студенческого творчества в 1997 году; Четвертого Всероссийского фестиваля «Российская студенческая весна — 96» в Самаре и т.д.).
В 1997, 1998 и 1999 годах становился лауреатом Всемирного, международных фестивалей фольклора на Мальте и в Испании (дважды) в номинации «Исполнительство на народном инструменте». Удостоен почетных дипломов и звания «Виртуоз-Маэстро», а также спецприза — кубка — в инструментальном жанре.
В 1999 году удостоился звания заслуженного работника культуры РФ.
С 1990 года Александр Мовсесян музицирует на кеманче с инструментами, изготовленными по собственной технологии. Неоднократно выступал на телевидении в России и Армении. Его музыка звучит в документальном фильме «8 томов мудрости» (Москва, 2003). В 2005 и 2006 годах был награжден медалями «Профессионал России» и «За благородные дела во славу отечеству».
Кроме кеманчи, профессионально играет на скрипке. Виртуозно владеет народным инструментом, не ограничивается только народным репертуаром, а демонстрирует современную подачу лучших музыкальных образцов мировой музыкальной культуры.
